Palomar Cube – approfondimenti sul quesito e soluzione

Cubi celebri

Il protagonista indiscusso della rubrica Moebius pubblicata su Coelum 176 di dicembre era il cubo 3x3x3. Un oggetto fondamentale, direi, nella storia della matematica ricreativa.

Alzi la mano chi non ha mai provato, almeno una volta, a mettere in ordine il celeberrimo cubo di Rubik, geniale marchingegno ideato nel 1974 dall’architetto ungherese Ernő Rubik (qui a destra).

Da una quarantina d’anni i matematici studiano questo rompicapo in profondità, ricavandone continue sorprese. Ad esempio, una questione matematicamente interessante (e per nulla facile) consiste nel trovare la via più breve per portare il cubo della disposizione ordinata a partire da una situazione iniziale qualsiasi. Questo problema è strettamente correlato ad un altro: qual è il numero minimo di mosse con cui possiamo certamente risolvere il rompicapo partendo da una configurazione qualsiasi? I matematici hanno assegnato a questo numero un nome molto altisonante: il numero di Dio. Nel 1981 fu dimostrato che tale numero non poteva essere maggiore di 52. Successivamente molti matematici cercarono di abbassare il numero, e riuscirono nell’intento. Nel luglio del 2010, Morley Davidson, Tomas Rokicki, Herbert Kociemba e John Dethridge, sfruttando software sofisticati e computer molto potenti, dimostrarono che il numero di Dio è uguale a 20.

Un altro rompicapo, certamente meno famoso, basato sul cubo 3x3x3, è il cubo Soma, creato nel 1936 dal poliedrico matematico danese Piet Hein. Cercatelo nei negozi: ne esistono versioni in legno molto belle, con le quali vi divertirete un sacco.

La vita di Hein sembra uscita da un romanzo: discendente di un altro Piet Hein, comandante navale nella guerra degli Ottant’anni nel Seicento e ricordato in Olanda come eroe nazionale, si arruolò durante la seconda guerra mondiale come partigiano, si sposò quattro volte, ebbe cinque figli, fu matematico, fisico, ingegnere, inventore, divulgatore scientifico, poeta e scrittore.

Ma fu soprattutto un geniale creatore di affascinanti giochi matematici: per esempio l’Hex, studiato da John Nash (quello del film “A beautiful mind”) e descritto da Martin Gardner, e appunto il cubo Soma.

Hein s’inventò questo gioco mentre seguiva una lezione di fisica quantistica di Werner Heisenberg: ebbe l’ispirazione quando il premio Nobel cominciò a parlare di uno spazio diviso in celle cubiche, e cominciò a chiedersi quali fgure possono essere create unendo tra di loro più cubetti.

Il giovane danese concentrò la sua attenzione sulle combinazioni concave di cubetti, e si accorse che con tre cubetti si può creare una sola struttura di questo tipo, fatta a “L”, mentre con quattro cubetti esistono sei diverse figure concave.

Ora, si chiese Hein, quanti cubetti elementari servono per allestire questo kit di sette configurazioni? Contateli: sono in tutto 27.

Piet pensò allora che anche in un cubo 3x3x3 ci sono 27 cubetti elementari, e la domanda nacque spontanea: è possibile assemblare le sette strutture in modo da creare un tale cubo 3x3x3.
La risposta è sì: ed esistono addirittura 240 diversi modi per farlo! E non è finita qui, perché le sette parti possono essere utilizzate anche per creare innumerevoli figure diverse dal cubo 3x3x3, come potete vedere nella figura qui a destra (peraltro largamente incompleta).

Il problema

Ma veniamo al problema con il quale ho voluto allietare il periodo natalizio dei lettori di Coelum. Prendiamo il cubo di Rubik. Essendo un cubo 3x3x3, i cubetti costitutivi sono in tutto 27.

Essendovi 6 facce, ciascuna con 9 quadratini, ci sono 54 quadratini.

Come osservavo nell’articolo, nel rompicapo ungherese ci sono tre diversi tipi di cubetti:

• quelli posti al centro delle sei facce (6);
• quelli posti sugli angoli (8);
• quelli posti a metà degli spigoli (12).

In tutto sono 26. Aggiungendo il cubetto nascosto nel centro del cubo grande, arriviamo a 27.

L’enigma proposto era il seguente: scrivere un numero su ciascuno dei 54 quadratini del cubo, in modo che:

• su ogni faccia del cubo grande ci siano tutti i numeri da 1 a 9;
• la somma dei numeri presenti sui quadratini esposti da ogni cubetto d’angolo e da ogni cubetto di spigolo sia la stessa.

Vediamo alla pagina seguente le soluzioni proposte dai lettori.