Soluzione, considerazioni e approfondimenti suggeriti sul quesito posto da Paolo Alessandrini nella rubrica Moebius pubblicata su Coelum 181 di maggio

Urania e Mnemosine

Vi sono sequenze di nomi, parole o cifre che è molto difficile riuscire a imparare a memoria senza un qualche ausilio. Al giorno d’oggi tendiamo a coltivare meno di un tempo le potenzialità mnemoniche del nostro cervello: forse perché ci possiamo affidare alla disponibilità di memorie artificiali, che ci permettono di immagazzinare enormi quantità di dati in spazi trascurabili e di reperire le informazioni desiderate in tempi brevissimi.
Nel passato, invece, e in particolare nell’antichità, alla capacità di ricordare veniva attribuita un’importanza fondamentale. Non possiamo tralasciare che a causa dell’alto tasso di analfabetismo la maggior parte della conoscenza veniva tramandata oralmente: saper ricordare, quindi, era a maggior ragione importante.
Celebri maestri di oratoria come Cicerone e Quintiliano riconobbero come in questa particolare arte il “trucco” più efficace risieda nell’associazione: per mandare qualcosa a memoria conviene cioè escogitare un qualche legame con oggetti concreti, o immaginare di collocare in luoghi familiari ciò che si deve ricordare.

La grande rilevanza che gli antichi assegnavano alla memoria è testimoniata anche dal fatto che Mnemosine, una delle divinità dell’Olimpo, era la personificazione di questa facoltà della mente umana. Figlia di Urano e della Terra, fu amata da Zeus e divenne madre delle Muse, le nove divinità che rappresentavano le arti: in particolare la storia, la poesia lirica, la poesia amorosa, la poesia epica commedia, la tragedia, la danza, il mimo e, udite udite, l’astronomia.
Urania, musa dell’astronomia, era quindi figlia di Mnemosine, cioè della memoria: evidentemente già gli antichi erano consapevoli della grande difficoltà di tenere a memoria l’intera conoscenza delle cose celesti.

E figuriamoci nei tempi più recenti, quando le conoscenze astronomiche si sono fatte via via più vaste.
Ecco quindi le filastrocche alle quali accennavo nell’articolo del numero 181, inventate per ricordare più facilmente certe sequenze di interesse astronomico, come le principali classi spettrali delle stelle (“Oh, Be A Fine Girl: Kiss Me!”, “On Betelgeuse Astronomers Find Galactic Kings Making Lovely Tangerine Yogurts”) o i pianeti del sistema solare (“My Very Excellent Mother Just Sent Us Nine Pies”).

Numeri inafferrabili

Oltre agli studenti di astronomia, anche quelli di altre discipline scientifiche possono trovare utili le tecniche di memorizzazione: ad esempio quelli di medicina, sempre alle prese con lunghissime litanie di tessuti, organi e apparati dai nomi complicati.
Tuttavia è forse la matematica l’ambito scientifico nel quale sono state ideate le tecniche mnemoniche più interessanti e sfoggiati i risultati più sorprendenti.
Vi sono per esempio alcuni numeri “speciali”, particolarmente degni di nota per i matematici, e per questo meritevoli di essere conosciuti e magari “imparati a memoria”. Sfortunatamente questi numeri non sono interi. Non solo, ma dopo la virgola hanno addirittura un numero infinito di cifre. I tre numeri più famosi di questa “famiglia” sono il pi greco, cioè π, pari a 3,141592653…, il numero di Eulero e, uguale a 2,718281828…, e il rapporto aureo φ, uguale a 1,618033988…
Ognuno di questi numeri ha un buon motivo per essere celebre. Ad esempio, π è il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e quella del corrispondente diametro. Questo rapporto è uguale per tutti i cerchi, siano essi grandi o piccoli. Il bello è che questo numero salta fuori non soltanto in geometria, ma anche in innumerevoli teoremi di analisi matematica, teoria dei numeri, calcolo della probabilità, statistica, fisica, che non hanno alcuna parentela evidente con i cerchi né con qualsiasi altra figura geometrica.
Anche il numero di Eulero e rappresenta una costante fondamentale della matematica, in particolare nella branca nota come analisi matematica. Prende il nome dallo svizzero Leonhard Euler, uno dei più grandi matematici di ogni epoca.
Il rapporto aureo φ, detto anche sezione aurea, corrisponde al rapporto tra due lunghezze tali per cui la più grande sta alla più piccola come quest’ultima sta alla differenza tra le due.
Sia π che e compaiono nell’identità di Eulero, che viene spesso definita la più bella formula della matematica:

e^iπ + 1 = 0

dove i è l’unità immaginaria, pari alla radice quadrata di -1. La bellezza di questa formula risiede nel fatto che stabilisce un sorprendente ponte tra tutti i numeri e tutte le operazioni fondamentali della matematica: i due speciali numeri π ed e, l’unità immaginaria i, lo zero (elemento neutro per l’addizione), l’uno (elemento neutro per la moltiplicazione), l’addizione, la moltiplicazione, l’elevamento a potenza, l’uguaglianza.

Pi greco, il numero di Eulero e il rapporto aureo sono tutti numeri irrazionali: in altri termini, non sono uguali al rapporto tra due numeri interi. Se π fosse esattamente uguale a 22 diviso 7, sarebbe un numero molto meno affascinante di quello che è. I numeri razionali, uguali al quoziente tra due interi, si dividono in due categorie: quelli della prima categoria hanno un numero finito di cifre decimali (ad esempio 22 diviso 8 è uguale a 2,75), mentre quelli della seconda categoria hanno infinite cifre decimali, ma in realtà si tratta di una sequenza finita di cifre che si ripete indefinitamente (questo è il caso di 22 diviso 7, che è pari a 3,142857 142857 142857…).
Pitagora era convinto che esistessero soltanto numeri razionali, ma si sbagliava di grosso. Gran parte del fascino di pi greco, del numero di Eulero e del rapporto aureo, dipende dal fatto che si tratta di numeri irrazionali, dotati di un corteo davvero infinito di cifre decimali, prive di ripetizioni.
Proprio per questo motivo si tratta di numeri estremamente inafferrabili: ogni tentativo di indicarne il valore è destinato a essere soltanto un’approssimazione. Ecco perché questi numeri hanno rappresentato a lungo, e rappresentano tuttora, una straordinaria palestra per chi pratica le tecniche mnemoniche.
La cosiddetta “conversione fonetica” è particolarmente indicata per memorizzare numeri di questo tipo: per prima cosa si utilizza una tabella standardizzata come la seguente per convertire ogni cifra in una particolare famiglia di consonanti.

Poi si aggiungono delle vocali tra una consonante e l’altra, allo scopi di comporre delle parole che possano essere facilmente ricordate. Il metodo fu ideato dal matematico tedesco Stanislaus Mink von Wennsshein e fu divulgato dal grande matematico e filosofo tedesco Gottfried Wilhelm von Leibniz.
Il matematico Charles Lutwidge Dodgson, più noto come Lewis Carroll, famoso autore di “Le avventure di Alice nel paese delle meraviglie”, utilizzò la conversione fonetica per memorizzare le prime 71 cifre decimali di π.

Provate voi stessi a “tradurre” π secondo il metodo della conversione fonetica. Tenendo conto di 32 cifre decimali (3,14159265358979323846264338327950) potreste ottenere qualcosa del genere (in maiuscolo le consonanti corrispondenti alle cifre, in minuscolo le vocali interposte, in corsivo le parti del discorso aggiunte per chiarezza espositiva):

Una TRoTa aLPiNa voleva volare fino in CieLo, ma prima di partire si mise la MaGLia, perché aveva paura del freddo: una vera FoBia. Arrivata in quota incontrò un’oCa, dalla cui coda mancavano delle PiuMe. Gliele aveva strappate uno GNoMo VoRaCe, che quando non mangia oche si sazia divorando NoCi, noci che coglie dai RaMi coperti di MUFFA, sporcandosi la MaNiCa vicino al PoLSo.

I record di π

È proprio π il numero sul quale maggiormente si sono sbizzariti gli esperti di tecniche mnemoniche. In inglese esiste addirittura un termine specifico, “piphilology”, che indica l’utilizzo di metodi di questo tipo per ricordare le cifre di π.
A parte la conversione fonetica, l’altro metodo per trasformare le cifre decimali di numeri come π in frasi di senso compiuto è quello che utilizza una parola per ogni cifra, scegliendo la lunghezza della parola in modo che sia pari alla cifra stessa. Da qui espressioni come “Ave o Roma o madre gagliarda di latine virtù che tanto luminoso splendore prodiga spargesti con la tua saggezza”, oppure “Già: è bene e utile ricordare le dodici cifre del greco parametro”, o ancora “Non è dato a tutti ricordare il numero aureo del sommo filosofo Archimede. Certuni sostengon che si può ricordare tale numero, ma questi poi non recitano che un centone insensato”.
Questo gioco ha un dominatore indiscusso, l’ingegnere informatico americano Mike Keith, che nel 1996 compose un poema basato sulle prime 3835 cifre di π. Il poema, intitolato “Cadaeic Cadenza”, è decisamente uno degli esempi più impressionanti di piphilology. A quanto pare Keith non si è accontentato del suo poema, se è vero che nel 2010 ha scritto addirittura un libro intero, dal titolo “Not a wake: a dream embodying π’s digits fully for 10000 decimals”, che codifica le prima 10.000 cifre di π!

Se da una parte esistono i poeti di π, che forniscono i testi adatti alla memorizzazione delle sue cifre, dall’altra esistono i recordmen dello sport dell’apprendimento mnemonico. L’attuale detentore del primato è il cinese Lu Chao, che nel 2006, in una stupefacente performance, riuscì a recitare a memoria ben 67.890 cifre decimali del numero di Archimede, impiegando 24 ore e 4 minuti: secondo quanto riferì, aveva imparato a memoria le prime 100.000 cifre, ma alla 67.891-esima commise un fatale errore, dicendo “5” anziché “0”.

L’enigma

I lettori che hanno svelato l’arcano sono, in ordine di tempo: Vito (squicciarinimail@alice.it), che ha vinto l’abbonamento semestrale, Giorgia Hofer, Alessandra Guido, Michele d’Errico, Federico Bartolucci, Dino Colatore, Claudia Ferrari.
Complimenti vivissimi a tutti i risolutori e in particolare al vincitore!
Al prossimo enigma.

Soluzione, considerazioni e approfondimenti suggeriti sul quesito posto da Paolo Alessandrini nella rubrica Moebius pubblicata su Coelum 180 di aprile

La tavola rotonda di Dudeney

Nel 1907 Henry Dudeney, grande creatore di rompicapi e giochi matematici, propose il seguente problema: “Fate accomodare le stesse n persone a una tavola rotonda (n-1)(n-2)/2 diverse volte, in modo che nessuna persona abbia per più di una volta gli stessi due vicini”.

L’enigma venne pubblicato, assieme a molti altri, nel libro “The Canterbury Puzzles”, uno dei grandi classici della matematica ricreativa.

L’immagine della tavola rotonda richiama subito alla mente i cavalieri della corte di re Artù, menzionati nelle leggende del ciclo bretone. Nelle diverse versioni, il numero di questi nobili personaggi varia molto, da 12 a oltre 150.

A noi, però, non importa quanti fossero i cavalieri: ci basta chiamare questo numero n.

Il problema di Dudeney suggerisce che esistano (n-1)(n-2)/2 diversi modi di accomodare i cavalieri a tavola, rispettando il vincolo per cui nessuno di loro ritroverà per più di una volta la stessa coppia di colleghi ai suoi due lati. Perché proprio (n-1)(n-2)/2?

Lo possiamo comprendere facilmente.

In quanti modi possiamo riempire il posto alla destra di re Artù? Naturalmente in n-1 modi, perché possiamo collocare chiunque degli n cavalieri tranne lo stesso sovrano. E una volta occupato quel posto, quanti modi abbiamo di piazzare un commensale alla sinistra di Artù? Ovvio: n-2, perché a questo punto abbiamo già escluso 2 persone. Quindi esistono (n-1)(n-2) modi di riempire i due posti vicini all’illustre sovrano.

Ma facciamo attenzione all’esatta formulazione del problema: ciascun cavaliere non deve ritrovarsi più volte la stessa coppia di vicini, indipendentemente dal fatto che siano scambiati di posto. Di conseguenza contando (n-1)(n-2) modi abbiamo in realtà contato ogni configurazione due volte: il numero giusto è quindi (n-1)(n-2)/2.

Per fortuna la matematica è democratica, per cui il ragionamento condotto per re Artù si applica pari pari a tutti i cavalieri. Possiamo allora concludere che il numero di configurazioni proposto da Dudeney è corretto.

Il numero (n-1)(n-2)/2 può essere ricavato anche attraverso un procedimento appena diverso. Il numero di possibili disposizioni degli n cavalieri corrisponde infatti al numero di modi in cui possiamo estrarre 2 elementi da un insieme di n-1 elementi.

Chi mastica un po’ di matematica sa che questo numero è espresso dal coefficiente binomiale “n su 2”, cioè:

Per fortuna abbiamo ritrovato lo stesso numero di prima!

Vabbè: ma adesso, che ce ne facciamo di questo bel numerino? Sapere quanti sono i modi di far sedere i cavalieri non significa conoscere nel dettaglio tutte queste disposizioni.

D’altra parte la determinazione di queste configurazioni costituisce il vero rompicapo di Dudeney.

Il problema è stato risolto per qualsiasi n pari, ma non ha una soluzione generale se n è dispari. Ai tempi di Dudeney (che morì nel 1930), per esempio, non era nota alcuna soluzione per il caso n = 13, che richiama alla memoria l’ultima cena di Gesù.

Lo stesso matematico inglese descrisse in dettaglio tutte le soluzioni dell’enigma per n compreso tra 3 (numero minimo di commensali per il quale il problema ha senso) e 12.

Ad esempio, la figura seguente illustra le soluzioni (uniche) per n uguale a 3, 4, e 5.

Dagli anni Sessanta in poi, il problema venne preso in grande considerazioni da diversi matematici e risolto per valori più alti di n, anche sfruttando algoritmi informatici.

Ad oggi, il valore più basso di n per il quale non è nota alcuna soluzione è 41: si sa che le configurazioni in questo caso sono (41-1)(41-2)/2 = 780, ma nessuno sa quali siano di preciso.

L’intricato caso dei governatori galattici

Anche se ambientato in un contesto fantascientifico e non nello scenario delle leggende anglosassoni, l’enigma del numero 180 di Moebius era una riformulazione del classico problema di Dudeney.

Al posto della tavola rotonda c’è la Via Lattea, e i commensali sono sostituiti dai settori galattici amministrati da altrettanti governatori. Con i quattro quadranti alla Star Trek la soluzione è semplice: anzi, l’avete già vista nella figura precedente.

Con n = 4 abbiamo (n-1)(n-2)/2 = (4-1)(4-2)/2 = 3 disposizioni possibili.

Ad esempio, se i governatori sono A, B, C e D, lo schema di rotazione che risolve il problema è il seguente:

A B C D

A B D C

A C B D

Si noti che in ciascuna disposizione l’ultimo governatore (quello indicato a destra) sarà vicino al primo (quello più a sinistra). Questo significa che ad esempio la prima configurazione A B C D può indifferentemente essere scritta anche come B C D A, oppure C D A B, oppure D A B C.

Tenendo conto di questo fatto, potrete constatare che con n = 4 non vi sono altre soluzioni del problema.

Con sei settori, la faccenda si fa più complicata. Lo ammetto: questa volta sono stato cattivello, e infatti nessuno, per la prima volta nella storia della rubrica (che ormai si accinge a festeggiare il suo primo compleanno), è riuscito ad aggiudicarsi l’abbonamento semestrale.

Una nostra vecchia conoscenza, però, è riuscita a risolvere il rompicapo: Maurizio Carlino. Il provetto risolutore di problemi non è stato menzionato in calce alla rubrica del numero 182, perché la sua risposta è arrivata quando l’articolo era già prossimo alla stampa. E comunque Carlino aveva già vinto l’abbonamento in precedenza, e quindi la sua partecipazione (come lui stesso aveva sottolineato) era fuori concorso.

Mi scuso comunque con Carlino per non averlo citato nella rubrica di maggio, e mi complimento con lui per la sua brillante impresa.

Com’è ormai sua abitudine, il nostro affezionato lettore ci ha inviato un’analisi dettagliata del problema, corredata dalla soluzione e da una spiegazione approfondita del procedimento adottato per ottenerla.

Come si risolve la parte difficile del problema, cioè lo schema di rotazione dei 6 governatori? In questo caso le possibili configurazioni sono (6-1)(6-2)/2 = 10, ma quali sono?

Trovarle “a mano” era possibile, ma non semplice. Un programma informatico sicuramente rappresentava una via più agevole, e non a caso questo è stato il procedimento scelto da Carlino.

Identificando i governatori con le prime 6 lettere dell’alfabeto, la soluzione proposta dal nostro lettore-risolutore è la seguente:

A B C D E F

A B D C F E

A B E D F C

B D E A F C

B D F A C E

A D B F C E

A C D F B E

D C E F B A

C B E F D A

C B F A D E

Nella tabella seguente, inviataci dal nostro lettore, vengono evidenziate le coppie di vicini di ogni governatore in ciascuna delle 10 configurazioni.

Naturalmente questa è una delle molte soluzioni possibili del problema con n = 6: a differenza del caso con n = 4, infatti, la soluzione non è affatto unica.

Non contento di aver comunque risolto il problema “base”, Carlino ha analizzato il numero di spostamenti necessari per passare da una configurazione a quella successiva.

Nella soluzione esposta sopra, questo numero è sempre 3, tranne che per il primo passaggio, nel quale sono necessari 4 spostamenti. Il numero totale di spostamenti è quindi pari a 28.

Ci scrive Carlino:

“Non sono riuscito a trovare una soluzione che presenti un numero inferiore di spostamenti, ma non dispongo di una dimostrazione matematica del fatto che 28 sia il valore minimo. Sarà molto interessante scoprire se qualcun altro è stato capace di produrre una soluzione a ‘costo’ inferiore; al momento posso solo dire che il mio algoritmo non ha trovato soluzioni inferiori a 28 con il vincolo di usare ad ogni passo una nuova configurazione che differisse dalla precedente di al più 4 spostamenti. In particolare non sono riuscito a trovare soluzioni con costo totale = 27 in cui tutte le 9 configurazioni avessero un costo pari a 3 e neppure almeno una soluzione in cui compaia una configurazione di costo 2 seppur teoricamente compatibile con i vincoli del problema.”

Giro l’interessante sfida ai lettori e ai visitatori!

In conclusione, complimenti a tutti i lettori che hanno affrontato il problema e in particolare al bravissimo Maurizio Carlino.

Al prossimo enigma!