Aspetti numerici del Paradosso

Proviamo adesso a considerare l’incremento di luminosità del cielo notturno ottenuto per valori crescenti del raggio di una sfera di riferimento. Confrontiamo adesso i valori della luminosità secondo superfici sferiche e secondo volumi sferici differenza, ottenuti cioè sottraendo al volume della sfera di dato raggio il volume della sfera di raggio immediatamente inferiore. Nella tabella che segue vengono riportati i valori di luminosità totale (partendo da un valore unitario costante espresso dal numero intero 10) riferiti a superfici sferiche concentriche di raggio crescente e a volumi differenza. Vengono inoltre riportati i valori di detta luminosità ricalcolati tenendo conto della riduzione dovuta alla distanza.

E’ possibile osservare come la luminosità secondo volumi sia, per valori piccoli del raggio, notevolmente inferiore rispetto alla luminosità calcolata secondo superfici sferiche.

RAGGIO SUP. VOL. LUM. UNIT. LUM. TOT. PER SUP. LUM. TOT. PER VOL. DIFF. DIFF.LUM. SFERE CONCENTRICHE LUM./
(DIST.)^2 per sup.		 LUM./
(DIST.)^2 per volume		 % VAR. LUM.’ RAPP. SUP. RAPP. VOL.
1 12,56 4,19 10 125,6 41,87 41,87 125,6 41,87 66,67
2 50,24 33,49 10 502,4 334,93 293,07 125,6 73,27 41,67 4 8
3 113,04 113,04 10 1130,4 1130,4 795,47 125,6 88,39 29,63
4 200,96 267,94 10 2009,6 2679,47 1549,07 125,6 96,82 22,92 4 8
5 314 523,33 10 3140 5233,33 2553,87 125,6 102,15 18,67
6 452,16 904,32 10 4521,6 9043,2 3809,87 125,6 105,83 15,74
7 615,44 1436,03 10 6154,6 14360,27 5137,07 125,6 108,51 13,61
8 803,84 2143,57 10 8038,4 21435,73 7075,47 125,6 110,55 11,98 4 8
9 1017,36 3052,08 10 10173,6 30520,8 9085,07 125,6 112,16 10,70
10 1256 4186,67 10 12560 41866,67 11345,87 125,6 113,46 9,67
11 1519,76 5572,45 10 15197,6 55724,53 13857,86 125,6 114,53 8,82
12 1808,64 7234,56 10 18086,4 72345,6 16621,07 125,6 115,42 8,10
13 2122,64 9198,11 10 21226,4 91981,06 19635,47 125,6 116,19 7,50
14 2461,76 11488,21 10 24617,6 114882,13 22901,07 125,6 116,84 6,97
TOT (14 MLA) 1758,46 1415,99
%Media di Riduz. Lum.(14 MLD a.l.) 19,47 19,47 %Media di Riduz. Lum.(14 MLD a.l.)

Se consideriamo un valore unitario del raggio pari ad un miliardo di anni luce avremo, per una distanza di 14 miliardi di anni luce (dimensione orientativa comunemente accettata dell’Universo visibile), una riduzione media di luminosità (da considerare in aggiunta a quella dovuta alla distanza calcolata secondo superfici sferiche) pari a circa 20%. In ultima analisi considerare volumi sferici differenza invece che superfici significa dover considerare, in riferimento al paradosso di Olbers, una luminosità notturna comunque inferiore di circa il 20% a quella immaginata, frutto del contributo complessivo delle superfici sferiche concentriche. Le stelle poste a distanze maggiori di 14 MLD di a.l. non contribuiscono alla luminosità per i motivi già considerati, relativi al limite imposto dalla velocità della luce e all’espansione dell’Universo.

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