Lo abbiamo già confessato dalle pagine di Coelum: ebbene sì, il quiz di Aprile era “quasi” un pesce d’Aprile. Solo “quasi”, però, perché anche se le soluzioni dei tre quiz erano tutte e tre uguali, e anche se tutte e tre mostravano come certi accorgimenti di controllo delle nascite servono a ben poco, ciò non toglie che per scoprire la cosa bisognava almeno sforzarsi di capire l’inganno. A differenza di quanto accaduto nel mese precedente, i solutori qua non sono mancati.
Cominciamo con la bella prosa di Fabio Fabbri: “Questo mese avete proposto un problema interessante: dal modo in cui è stato esposto e a causa delle limitazioni del cervello umano nella stima delle probabilità, a prima vista sembrerebbe che un sesso debba prevalere sull’altro. Però ragionando sul problema si può capire che in realtà le cose andranno diversamente. Nel caso terrestre, se vi sono N coppie, N/2 avranno un maschio e N/2 avranno una femmina. Le coppie che hanno avuto un maschio potranno avere un altro figlio: N/4 avranno un altro maschio e N/4 avranno una femmina. Delle coppie che hanno avuto un secondo maschio, N/8 avranno un terzo maschio, e N/8 avranno una femmina. Il dividendo crescerà in base alle potenze di due, e si può andare avanti finché il dividendo è minore di N. Ad ogni passo, il numero di maschi sarà uguale al numero di femmine, quindi le proporzioni tra i due sessi non cambieranno. Potremmo considerare che le coppie possono decidere di non avere altri figli pur avendo avuto solo figli maschi, ma anche in questo caso le proporzioni non cambieranno: delle coppie che hanno deciso di continuare, il 50% avrà un maschio e il 50% avrà una femmina; e di quelle che avendo avuto un altro maschio decideranno di continuare il 50% avrà un maschio e il 50% avrà una femmina, e così via. Questo non influirà sulle proporzioni tra i sessi. Si può fare un ragionamento analogo sulle nuove coppie che si formeranno tra i figli, ma in ogni caso il 50% dei nuovi nati sarà maschio e il 50% sarà femmina.
Nel caso con 3 sessi, se ci sono N terzetti, vi saranno N/3 primogeniti per ciascun sesso. Se c’è solo un sesso privilegiato, solo N/3 terzetti potranno avere un secondo figlio. Se tutti decideranno di avere un secondo figlio, vi saranno N/9 secondogeniti per ciascun sesso. Si può andare avanti nel ragionamento seguendo le potenze di 3, ma il rapporto tra i sessi non cambierà.
Se 2 sono i sessi privilegiati, 2N/3 terzetti potranno avere un secondo figlio, e vi saranno 2N/9 secondogeniti per ciascun sesso. Quindi 4N/9 terzetti potranno avere un 3 figlio, producendo 4N/27 figli per ciascun sesso. In questo caso, il dividendo aumenterà seguendo le potenze di 2, e il divisore in base alle potenze di 3, ma il rapporto tra i sessi non cambierà.
Concludendo, questa strana legge fallisce nel suo intento di regolare la proporzione tra i sessi. L’unico effetto di questa legge sarà quello di determinare un limite superiore al numero dei figli che avrà mediamente ogni coppia o terzetto, ricavabile con il calcolo del limite di una serie geometrica.
Nel primo caso, una coppia avrà in media
1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2n
il cui limite per n che tende ad infinito è 2. Quindi ogni coppia avrà mediamente due figli e il numero di persone tenderà a rimanere stabile se tutte le coppie decidono di andare avanti finché consentito.
Nel secondo caso, ogni trio avrà in media
1 + 1/3 + 1/9 + … + 1/3 n
il cui limite per n che tende ad infinito è 1,5. Quindi ogni trio avrà in media un figlio e mezzo, e ad ogni generazione la popolazione si dimezzerà.
Nel terzo caso, ogni trio avrà in media
1 + 2/3 + 4/9 + … + 2 n /3n
il cui limite per n che tende ad infinito è 3. La popolazione tenderà a rimanere stabile se le coppie non decidono di fermarsi: in quel caso la popolazione si ridurrà lentamente.
Beh, c’è davvero poco da aggiungere. Fabio non solo analizza con coerenza il “non-effetto” delle strane regolo di controllo, ma si perita anche di valutare l’andamento globale della popolazione che a tale regole deve sottostare. Difficile chiedere di più.
Anche Riccardo D’Altoè ha inviato alcune osservazioni interessanti in merito al quesito, e soprattutto ci piace che abbia evidenziato i tre sessi come X, Y e Z. Oltre a ciò, non ha dimenticato di precisare, tra le ipotesi imposte nel suo calcolo, che la prole della generazione n diventi prolifica solo alla generazione successiva.
Anche Riccardo non cade nel tranello, e mostra che i rapporto iniziale (e paritario) tra i due o tre sessi non cambia dalle politiche di controllo.
Il vincitore di questo mese è però Maurizio Leotta che ci ha inviato la sua soluzione a tempo di record. La logica impiegata non è dissimile da quella di Fabio e Riccardo (del resto, in problemi come questi, è oggettivamente difficile raggiungere lo stesso risultato seguendo metodi davvero diversi tra loro), ma Maurizio prova anche a fornire una certa rappresentazione grafica:
Esempio 1:
FIGLIO 6 M F
FIGLIO 5 M M F F
FIGLIO 4 M M M M F F F F
FIGLIO 3 M M M M M M M M F F F F F F F F
FIGLIO 2 M M M M M M M M M M M M M M M M F F F F F F F F F F F F F F F F
FIGLIO 1 M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F
Esempio 2:
FIGLIO 4 X Y Z
FIGLIO 3 X X X Y Y Y Z Z Z
FIGLIO 2 X X X X X X X X X Y Y Y Y Y Y Y Y Y Z Z Z Z Z Z Z Z Z
FIGLIO 1 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z
e, in buona sostanza, abbiamo capito tutti che per controllare le nascite di una nazione occorre usare molto buon senso e buona matematica, non quella approssimata.
