Dalla Terra alla Luna

Facciamo una cosa insolita: cominciamo a dire come ci aspettavamo noi che risolvestevoi il problema del numero 99: dopo, naturalmente, inseriremo le soluzioni ricevute e relativi commenti.
Per risolvere questo problema con ragionevole velocità basta ricordarsi che il volume del cilindro circoscritto alla sfera ha un volume pari ad una volta e mezzo quello della sfera. Questo teorema è attribuito ad Archimede, e leggenda vuole che Cicerone abbia riconosciuto (e restaurato a sue spese) la tomba del Siracusano, decorandola proprio con la grafica di questo teorema incisa sopra la lapide.

Storia e personaggi storici a parte, se mettiamo il nostro gomitolo in una scatola cilindrica avente altezza e diametro di ventiquattro pollici, il volume del gomitolo sarà i due terzi del volume del cilindro, e quindi il volume della sfera sarà pari a quello di un cilindro avente sempre lo stesso diametro, ma altezza pari a due terzi (ossia sedici pollici). Dopo aver trasformato la sfera in un cilindro, possiamo considerare che anche il filo è in effetti un cilindro; quindi, la proporzione relativa tra il cilindro da ventiquattro pollici e quello da un centesimo di pollice è pari a duemilaquattrocento; elevando a quadrato questo valore, otteniamo il numero di cilindri spessi un centesimo di pollice contenuti nel cilindro “grande” – cioè 5.760.000. Considerato che il nostro cilindro è lungo sedici pollici, moltiplicando questo valore per sedici otteniamo92.160.000, che è la lunghezza cercata del filo; insomma, abbiamo scoperto che il filo è lungo 1454 miglia e mezzo (anzi, poco più), o a quasi 2341 chilometri, se siete affezionati alle misure rese popolari dalla Rivoluzione Francese. Insomma, mi sa che il nostro aquilone ci scappa di mano…

Basta poi fare i calcoli al contrario, per ottenere la dimensione del gomitolo necessario ad arrivare fino alla Luna.

Inciso dei fratelli Montgolfier:

Chiedevamo anche, più per esercizio logico che per autentica tenzone, di provare a proporre una buona ragione logica – e sufficientemente evidente da essere ben compresa anche da un bimbo – che mostri perchè una mongolfiera non è un buon mezzo di trasporto per i viaggi interplanetari, anche a voler trascurare problemi quali il riscaldamento della cabina e la necessità dell’aria durante tutto l’ipotetico viaggio. Abbiamo avuto alcune risposte in merito; ad esempio, Giovanni Castellari fa giustamente notare che la mongolfiera abbisogna di “sapere” quale sia il “su”, per funzionare, e nei viaggi interplanetari questa cosuccia non è proprio scontata. Fabio Zucconi, in maniera ancora più formale, ci ricorda infatti che, pur supponendo un’ipotetica presenza costante di aria tra Terra e Luna, ad un certo momento si arriverà al punto in cui le attrazioni gravitazionali tra i due corpi celesti si equilibreranno e, passato questo, anche la direzione di marcia della mongolfiera di dovrebbe invertire, visto che le mongolfiere hanno l’abitudine di andare in direzione opposta a quella della gravità (almeno finché non decidono di “tornare indietro”). In sostanza, è quanto chiedevamo: a noi piace notare la spiegazione quasi istantanea che si ha se si considera proprio l’asimmetria di base (una mongolfiera “parte” salendo verso l’alto, e non c’è modo di mantenere costante la direzione del viaggio immaginando che “arrivi” da qualche altra parte “discendendo”), ma il principio – per quanto scherzoso – è stato ben colto.

Le Soluzioni migliori:

Il premio, questa volta, se lo aggiudica Damiano Della Grotta, che è quello che meglio si è avvicinato alla determinazione della lunghezza del filo misterioso. Va riconosciuto che nessuno dei solutori ha percorso la “via Archimedea” che abbiamo mostrato nella prima parte di questa pagina, ma, come sempre, una delle cose migliori dei problemi di matematica è che non esiste mai una sola maniera di arrivare alla soluzione. Nello scorrere la soluzione di Damiano si trovano infatti alcune notazioni significative, e anche assunzioni – che sono sempre importanti, nella vita reale, anche quando in un asettico problema di matematica possono essere trascurate. Si perita infatti di precisare che

supponendo di dover “fare un giro” attorno alla Terra e uno attorno alla Luna, per legarle ci servirebbe un filo lungo:
Circonferenza Terra + Circonferenza Luna + Distanza Terra-Luna – (raggio terrestre + raggio lunare)

per i nostri scopi, a dire il vero, ci saremmo anche accontentati della distanza “netta” tra centro e centro (o anche superficie e superficie) dei due corpi celesti, però è piacevole, appunto, notare l’attenzione riservata al “cosa” si debba misurare. Anche altri aspetti che chiameremmo “di cautela” rendono la soluzione di Damiano piacevole dal leggere:

Il volume del gomitolo DOVREBBE essere pari all’area della sezione del filo per la sua lunghezza totale. In pratica trattiamo il filo come un cilindro sottilissimo e lunghissimo. La sua base la conosciamo, sapendo che ha un raggio di 1/200 di pollice. L’altezza è la lunghezza richiesta, 400.000 e passa km.

Il risultato finale di Damiano differisce un po’ da quanto da noi presentato, ma l’approssimazione è buona in assoluto – tendendo conto delle assunzioni – ed è la migliore in senso relativo, ovvero se confrontata con le altre ricevute. Di queste, comunque, abbiamo alcuni elementi notevoli: ad esempio, anche se il calcolo finale diFabio Zucconi non corrisponde, nei valori, a quello che ci attendevamo, alcune sue osservazioni sono cruciali:

“… essendo il filo cilindrico, è impossibile che ricopra perfettamente tutto il volume sferico del gomitolo… ad esempio, se si vuole ricoprire un area quadrata con tanti cerchi uguali, la somma delle aree dei quadrati non potrà mai eguagliare quella del quadrato perchè i cerchi non si “appiccicano” perfettamente uno sull’altro e lasciano degli inevitabili buchi.”

Proprio per questo, per la difficoltà a “visualizzare” le relazioni tra superfici e volumi della sfera e del cilindro, anziché tentare approssimazioni abbiamo fatto ricorso ad Archimede!

Una nota finale di merito va infine a Pierangelo Bellini, non solo per aver provato a risolvere il quesito, ma anche per la sua predisposizione (che ci piace molto) a mescolare insieme molteplici aspetti della vita: nella sua risposta afferma che dopotutto lavorare coi gomitoli non si è rivelato – come forse temeva – “poco maschio”, e forte di ciò ha condito la soluzione con il Thethered e con l’Uomo Ragno, ma anche con la saggezza di chi sa bene quanto siano lontani i satelliti geostazionari. A lui, agli atri solutori citati, al vincitore e a tutti i lettori, va il nostro sorriso e la nostra gratitudine.