Il Deserto di Dreven

La richiesta di esprimere le distanze in chilometri anziché in drevenet era quasi un Pesce d’Aprile anticipato: eguagliando la formula per la superficie della sfera a quella del volume, si ottiene rapidmente che un drevenet vale 1/3 del raggio del pianeta: non è possibile ricavare un valore del drevenet in chilometri, a meno che non si conosca (in chilometri) il raggio del pianeta.

Per quanto riguarda l’attraversamento del Deserto di Dreven, il problema può essere affrontato per fasi: prima, però, è bene definire alcune grandezze: chiamiamo “unità” la distanza di 0.5 drevenet, “carico” il pieno necessario per viaggiare per un’unità e “viaggio” il percorso in una direzione qualsiasi tra due punti di sosta.
Un carico porta, evidentemente, il VOLPE ad una distanza di 1 unità.
Due carichi portano il VOLPE ad una distanza massima di 1 unità e 1/3, con il seguente metodo:
Primo viaggio: effettuo un deposito di 1/3 di serbatoio a 1/3 di unità e torno alla base (a secco)
Secondo viaggio: raggiungo il serbatoio a 1/3 di unità, raccolgo quanto depositato (ritrovandomi il serbatoio pieno) e posso arrivare alla distanza totale di 1 unità e 1/3..
Tre carichi mi portano alla distanza di 1+1/3+1/5 di unità con un totale di nove viaggi. Il primo deposito viene organizzato a 1/5 di unità dalla partenza; tre viaggi permettono di accumulare 6/5 di carico nel deposito. il VOLPE ritorna, fa il pieno e arriva con 4/5 di carico al deposito che, sommati ai 6/5 già presenti, assommano a 2 carichi e, dal caso precedente, sappiamo che con questi si possono percorrere 1+1/3 unità.
Ci si chiedeva quanti carichi fossero necessari per superare 0.8 drevenet: come visto, con tre carichi si arriva a 0.5*(1+1/3+1/5)=0.766… drevenet, quindi si rende necessario un ulteriore deposito (di tre carichi) alla distanza di 0.333… drevenet, pari ad 1/15 di unità dalla partenza; in cinque viaggi il nostro VOLPE può costruire questo deposito in modo tale che, quando lo raggiungiamo alla fine del settimo viaggio, il carico complessivo (deposito e carburante avanzato) risulti essere di tre carichi, e questo basta a percorrere il resto del deserto. Quindi il carburante consumato risulta essere di 3+7/15 (=3.46…) unità, attraverso 16 viaggi e la percorrenza totale di 1.733… drevenet.
È interessante notare che non esistono limiti alle dimensioni del deserto attraversabile: infatti, quattro carichi ci permettono di raggiungere la distanza di 1+1/3+1/5+1/7 unità (con i vari depositi situati in questi punti; in generale, con n carichi, posso raggiungere una distanza in unità pari a:

e, siccome la serie è divergente, prima o poi raggiungerà qualsiasi valore, anche se a quel punto l’incontaminato Deserto di Dreven sarà ormai diventato un enorme deposito di carburante.

La circumnavigazione del pianeta Verten con i VESPA si basa sulla divisione in otto settori del percorso; alla fine del Primo Ottante, “B” fornisce 1/4 di serbatoio a “A” (che si ritrova quindi con il pieno) e “C” fornisce 1/4+1/4 di serbatoio a “B” (che si ritrova quindi con il pieno); “C”, a questo punto, ha il carburante strettamente necessario per tornare. La situazione è quindi:

“A” e “B” proseguono sino alla fine del Secondo Ottante, dove “B” fornisce 1/4
di serbatoio ad “A” (che si ritrova quindi con il pieno) e il carburante
restante basta appena a “B” per trornare alla base.

In tabella:

Quindi, “A” ha carburante sufficiente per arrivare al termine del
Sesto Ottante.

…Intanto, “C” è tornato alla base, può nuovamente fare il pieno e partire
verso l’altra parte del mondo per incontrare “A” proprio quando sta per
terminare il carburante; lo rifornisce con 1/4 di serbatoio, restando con 1/4. La situazione immediatamente dopo il rabbocco risulta:

Anche “B” è, intanto, ritornato alla base; fatto il pieno e ripartito anch’esso
“dall’altra parte”, raggiunge “A” e “B” al termine del
Settimo Ottante e
fornisce a ciascuno di loro 1/4 di serbatoio:

..e tutti tornano alla base.

Questo problema è stato affrontato da un folto stuolo di solutori, tra i quali la Redazione di Rudi Mathematici ha eletto vincitrice Daniela Savoini: la sua soluzione, oltre che corretta, aveva anche un fascino visivo elevato, specialmente per quanto riguardava la circumnavigazione di Verten; i vari passaggi, ottante per ottante, erano gradevolmente e graficamente riportati.
Ciò non di meno, è certamente vero che la Redazione ha dovuto fronteggiare il proverbiale imbarazzo della scelta: la prima soluzione arrivata, quella di Susanna Nembri, già si poneva come seria candidata alla vittoria finale, risolvendo i passaggi logistici dell’attraversamento del Deserto e della circumnavigazione di Verten. Del resto, a tale brillante risultato arrivava poi con brillantezza anche Massimo Andreolli, che si peritava anche di calcolare il valore del drevenet rispetto al raggio: Massimo ci ha anche detto di avere una dimostrazione rapida ed elegante per l’Ultimo Teorema di Fermat, ma che gli mancava il tempo di scriverla (ecco, a Fermat mancavo lo spazio sul margine, a Massimo il tempo…); quando ce la manderà, convinceremo la Redazione di Coelum a premiarlo con un abbonamento vitalizio.
Del resto, lo spirito matematico dei lettori sembra davvero risvegliarsi: Paolo Schiavone, nostra vecchia conoscenza, ha liberato il suo senso creativo non soltanto risolvendo i quesiti, ma anche lanciandosi in definizioni e simbologie. Per eliminare virgole e decimali ha inventato il Drevino (simbolo Dv), primo sottomultiplo del Drevenet; non contento, ha battezzato anche l’Elettrondreven (simbolo Ev), che non a caso ricorderà ai cultori della fisica l’Elettronvolt; alla fin fine, secondo Paolo anche questa è una unità locale di energia (in realtà è unità di capacità, ma parlando di carburante, si sente una certa “somiglianza”).
Meritano una menzione anche le soluzioni di Fabiano Limonio e di Maurizio Granchelli(e cogliamo l’occasione per chiedere a tutti, se possibile, di provare a farci arrivare le soluzioni prima della fine del mese), anche se del tutto speciale dev’essere la menzione per Valerio Pecoraro. Noi di RM siamo in fondo dei vecchi romantici che odiano la cosiddetta “separazione tra culture” (classica e scientifica), perché pervicacemente convinti che “cultura” sia tutto ciò che riguarda l’uomo e le sue conoscenze. Ne segue che se un lettore, come ha fatto Valerio, comincia la sua soluzione con una citazione latina di Alcuino da York (“Quidam paterfamilias iussit XC modia frumenti de una domo sua ad alteram deportari, quae distabat leuvas XXX, ea vero ratione, ut uno camelo totum illud frumentum deportaretur in tribus subvectionibus et in unaquaque subvectione XXX modia portaretur, camelus vero in unaquaque leuva comedat modium unum.Dicat, qui velit, quot modii residui fuissent.” ) i nostri cuori volano alti come il falco. E Valerio con scioltezza fa l’esegesi del nostro problema futuristico ricoloocandone le radici nel Medioevo precedente l’anno Mille, mostrando ancora una volta che “nihil sub sole novi”. Ma non di ferma qui: unico tra i solutori si è accorto dell’esistenza di una serie – e della sua divergenza – ed è riuscito anche a citare i principi dell’Economia di Scala. Lo citiamo:

Una nota curiosa, che riguarda più l’economia che la matematica: si potrebbe pensare che, avendo trovato la procedura per un singolo veicolo, se si vogliono far procedere N veicoli basta ripetere la procedura N volte. La branca dell’economia che si chiama “ricerca operativa” dimostra invece che più veicoli si mandano, minore è il consumo per veicolo. Questo fenomeno è un esempio di quello che gli economisti chiamano “Economia di Scala”..

Se Valerio non avesse rivelato a tutti che copiamo gli indovinelli da Alcuino, avremmo quasi potuto premiarlo…