Non possiamo nascondere una certa delusione: il quesito di Dicembre è rimasto praticamente intonso (e per questo ribadiamo un sincero “grazie” ad Eros Paramento, che è stato l’unico eroico temerario che ha affrontato il problema). Non che il quesito fosse facilissimo, d’accordo; però ha stupito comunque il vuoto assordante in cui è caduto. I casi sono due: o le feste di fine anno distolgono le menti dei solutori dall’amata matematica, oppure agli astrofili – amanti della perfezione puntuale delle sfere celesti – il Calcolo delle Probabilità risulta particolarmente obbrobrioso.
Comunque sia, ecco – più o meno – quel che ci saremmo attesi come possibile strategia “diplomatica”:
Primo Ambasciatore
Non sapendo nulla della distribuzione della bontà dei pianeti, la miglior strategia (come accennavamo già nel testo) diventa quella di farne passare un certo numero, e poi lanciarsi sul “primo migliore” di tutti quelli già passati.
Ma quanti pianeti occorre rifiutare? Questo numero dovrà essere dato dal rapporto tra la probabilità che il pianeta migliore sia già passato e la probabilità che debba invece ancora passare: in altre parole, il valore chiave è appunto quello per cui tale rapporto diventa maggiore di uno.
In altri termini (un po’ più matematici), bisogna determinare il minimo x per il quale, detto n il numero totale dei pianeti, sia verificata l’espressione:
Dovendo essere x intero, ci si può lanciare nella risoluzione di equazioni diofantee oppure, molto più semplicemente, tabulare i valori con un l’ausilio di un foglio elettronico; per n=100, si ricava x=37.
Quindi, la strategia è:
1. Rifiutare i primi 37 pianeti 2. Scegliere il successivo migliore dei precedenti. Anche se il metodo può sembrare decisamente azzardato, la probabilità di trovare effettivamente il pianeta migliore è molto alta: approssimativamente, risulta del 37%.
Secondo Ambasciatore
Analizziamo ora la strategia del secondo Ambasciatore, partendo dal principio che il primo abbia sbagliato (insomma, che sia incappato nel 63% sfavorevole delle possibilità). Abbiamo due casi possibili:
1. Il pianeta migliore è tra i primi 37, oppure
2. Il pianeta migliore è successivo a quello scelto dal primo ambasciatore.
La strategia del secondo ambasciatore si deve allora articolare in due fasi, ciascuna delle quali risolve uno dei due casi:
1. Applicare la stessa strategia del primo, ma con n=37, visto che si tratta di scegliere “il migliore tra 37 pianeti”
2. Lasciar passare quello che “sembrava” il migliore successivo al pianeta 37 (che è naturalmente quello scelto dal primo Ambasciatore) e scegliere il “migliore successivo”.
Lo stesso calcolo visto sopra, se effettuato con n=37 porta al valore x=14, e quindi la strategia è condensabile in:
“Rifiuto 14 pianeti, poi verifico se tra il 15 e il 37 ne trovo uno migliore di tutti i precedenti; se si, lo scelgo. Se no, lascio passare quello che sembra il migliore successivamente al 37 e scelgo il primo “migliore” tra quelli ancora successivi.”
Terzo Ambasciatore (e quarto, quinto, sesto…)
Tutti gli altri Ambasciatori applicano lo stesso principio ricalcolando opportunamente la formula con un n diverso determinato dalle cattive esperienze degli Ambasciatori dei viaggi precedenti. Ad esempio, la strategia per il terzo risulta:
1. Rifiutare i primi 5 pianeti (valore ricavato con la formula precedente per n=14) 2. Se c’è, scegliere il migliore di tutti i precedenti tra 6 e 14 (era stato rifiutato dalla strategia precedente).
3. Se non c’è, scegliere il “secondo migliore” di tutti i precedenti tra 15 e 37 (il primo migliore era stato scelto dal secondo Ambasciatore, ed era una scelta sbagliata).
4. Se non c’è, scegliere il “terzo migliore” di tutti i precedenti tra 38 e 100 (il primo migliore era stato scelto dal primo Ambasciatore e il secondo migliore dal secondo Ambasciatore).
… e così via, in maniera vieppiù complessa (ma sempre più sicura), per tutti gli altri.
Entro il centesimo viaggio il pianeta migliore verrà trovato: e nel caso sfortunato che anche la centesima missione sia costretta a partire, quantomeno questa ha a disposizione una strategia sicura: basta scegliere l’ultimo pianeta.
