Il quesito posto nella “puntata” di luglio-agosto della nuova rubrica Moebius riguardava il legame tra due famosi rompicapi matematici: le torri di Hanoi, inventate da Édouard Lucas nel 1883, e il gioco icosiano ideato da Sir William Rowan Hamilton nel 1857.
Lucas fu un grande matematico, noto per alcuni studi sui numeri primi e sui numeri di Fibonacci, ma fu anche un importante divulgatore e creatore di giochi. Per promuovere efficacemente il rompicapo della torre di Hanoi, non solo si inventò la leggenda dei monaci raccontata nell’articolo, ma utilizzò un ingegnoso pseudonimo: “N. Claus (de Siam)”, anagramma di “Lucas D’Amiens” (Amiens era la sua città natale). Le cronache raccontano che morì di setticemia a soli 49 anni, a causa di una ferita provocata dalla caduta di un piatto rotto sulla sua guancia, durante un pranzo di gala.
Il dublinese Hamilton, invece, è famoso per le sue ricerche a cavallo tra fisica e matematica: i suoi contributi in questo campo si sono rivelati fondamentali per il successivo sviluppo della meccanica quantistica. Pare che parlasse correntemente una quindicina di lingue, e che avesse conosciuto personalmente il poeta romantico William Wordsworth.
Il culmine della sua carriera coincise con la sua nomina a professore di astronomia al Trinity College di Dublino e ad Astronomo Reale d’Irlanda.
Le regole dei due giochi sono descritti nell’articolo “C’è ancora tempo”, pubblicato su Coelum 172. Se desiderate qualche approfondimento, potete consultare i libri e link che trovate in fondo.
Il rompicapo di Lucas ha sicuramente riscosso maggiore fortuna rispetto a quello di Hamilton, forse grazie alla sua maggiore “giocabilità”: su internet troverete un sacco di siti che parlano delle torri di Hanoi, ma pochi che descrivono il gioco icosiano.
È anche facile trovare versioni commerciali del gioco di Lucas nei negozi specializzati (io stesso ne ho una, e la utilizzo durante i miei laboratori didattici). Qualche tempo fa, trovai una versione gigante delle torri di Hanoi nel parco della Venaria Reale a Torino. Se passate di là, adesso che sapete come si risolve questo celebre enigma, non dimenticate di mostrare la vostra capacità davanti agli altri turisti: farete un figurone!
Al contrario, che io sappia, il rompicapo di Hamilton non è più sul mercato da molti decenni: nella fotografia qui a destra potete vedere il contenuto della ottocentesca versione commercializzata dallo stesso Hamilton.
Entrambi i rompicapi, comunque, sono di notevole interesse matematico: non soltanto il gioco dei monaci vietnamiti, il cui metodo risolutivo è un esempio classico di algoritmo ricorsivo, ma anche il gioco di Hamilton, che ha dato il nome ai percorsi hamiltoniani, fondamentali nella teoria dei grafi.
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Ma veniamo alla soluzione del quesito di luglio-agosto.
Innanzitutto consideriamo il gioco delle torri di Hanoi con tre dischi, e chiamiamo questi ultimi X, Y e Z, in ordine di dimensione crescente.
Se disponiamo i tre dischi nell’ordine in cui devono essere spostati per risolvere il rompicapo, otteniamo la sequenza XYXZXYX. Interpretando i tre simboli X, Y, Z come le tre dimensioni spaziali di un cubo, ad esempio lunghezza, larghezza e altezza, la sequenza ottenuta ci guiderà sugli spigoli del cubo per percorrere un circuito hamiltoniano. Ecco trovato il nesso nascosto tra questi due giochi, apparentemente lontani l’uno dall’altro.
E se i dischi fossero più di tre? Nessun problema: l’analogia sussiste ancora, a condizione che ricorriamo a ipercubi con più di tre dimensioni.
Il primo a suggerire questo legame tra i due rompicapi fu Martin Gardner, uno dei giganti della matematica ricreativa, nel suo articolo riportato nella seguente bibliografia.
Riferimenti bibliografici
- Edouard Lucas, Récréations mathematiques, III, Albert Blanchard, 1979.
- Martin Gardner, Il gioco dell’icosaedro e la torre di Hanoi, in Enigmi e giochi matematici, Milano, Rizzoli, 2001.
- Fred Schuh, The master book of mathematical recreations, Dover, 1968.
Link
- Dal mio blog “Mr. Palomar”, un post sul gioco della torre di Hanoi.
- Sulla torre di Hanoi:
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/probegio/GAMEMATH/Hanoi/Hanoi.htm
http://cut-the-knot.com/recurrence/hanoi.html
http://mazeworks.com/hanoi/index.htm
- Sul gioco icosiano: http://puzzlemuseum.com/month/picm02/200207icosian.htm
